Going My Way: 桁数の多い足し算の答えを瞬時に計算するように見える方法
電話番号を当てる方法なんかと同じ数学的なトリックですね．
きっちり証明されてないので，勝手に証明しますね．
ここでは，簡単のために4桁を扱います．
5679という数字を初期値として設定しましょう．
この数字に，証明の都合上，変数名を与えます．
X4=5, X3=6, X2=7, X1=9
次に，以下のように数字のやり取りがあったとしましょう．
ここで，自分が書く数字はa，相手が書く数字はbとラベルします．
a 5679
b 1272
a 8727
b 2241
a 7758
ぶっちゃけ．この答えは，25677です．
これを数学的な証明で立証したいと思います．
この味噌は，bの数字とそれに対するaの数字の和が9になることです．
aとbのやり取りの回数・・・厳密に言えば，bが書いた回数をnとしましょう．
一の位の演算は，次の数式で示すことができます．
X1+9n = 10n+(X1-n)
ここで，10nは桁上がりしてしまうので，一の位は(X1-n)になります．
ただし，条件があります．
この演算を円滑に進めるためには，以下の条件を満たす必要があります．
X1>=n && n<10
この条件は一の位がマイナスにならないための条件です．
一の位がマイナスになると，隣の位・・・つまり十の位が桁下がりを起こします．
いや，桁下がりを起こしてもいいんだけど，計算が1ステップ増えます．
間違いやすくなるので，やめましょう．
次に，十～千の位はどうなるのでしょうか？
Xm+9n+n = Xm+10n
ここで，mは自然数で，十～千の位ならば2～4が入ります．わかるかな？
左辺式中の9nはbとそれに対するaのやり取りによって生まれるその位の数，
nは下の位から桁上がりしてきた数です．
結果として，右辺がXm+10nになります．
10nは桁上がりなので，この位はXmになります．
最終的に，千の位(m=4)が計算された際に発生した桁上がり分の10nが，
1つ上の位である万の位に現れます．
つまり，それは万の位でのnです．
これをまとめますと，
万の位 n
千の位 X4
百の位 X3
十の位 X2
一の位 (X1-n)
となります．
今回はn=2, X4=5, X3=6, X2=7, X1=9で計算しているので，
結果は，25677になるんですねぇ．
数学のトリックはすごいですねぇ．
200609241613追記：
勘のいい方ならもうわかってると思いますが，
最上位の桁に9を書かれるとマズイですね．
上の例では4桁を想定してますから，
最上位に9・・・例えば9876なんて書かれると，
0123という不自然な数値を書くことになり，
トリックを見破られる可能性を露呈します．
まぁ．ゾロ目を書かれると，法則性に気付かれそうです．
まして，9999なんて書かれたら・・・